Ισογεωμετρική Ανάλυση  

Η αναλυτική λύση ενός προβλήματος μηχανικής είναι συνήθως αδύνατο να βρεθεί από το μηχανικό, ο οποίος είναι σε θέση μόνο να την προσεγγίσει. Αυτή είναι η κύρια διαφορά μεταξύ μηχανικών και μαθηματικών. Το καθήκον του μηχανικού είναι να προσδιορίζει μία αρκετά ακριβή λύση, η οποία να ικανοποιεί επιλεγμένα κριτήρια και κανονισμούς, ενώ η πραγματική πρόκληση είναι να ισορροπεί μεταξύ ακρίβειας και υπολογιστικού κοστους. Όσο πιο προηγμένα εργαλεία και τεχνικές διαθέτει, τόσο πιο βελτιστοποιημένα προκύπτουν τα έργα του.

Το Geomiso παρέχει όχι απλά την τελευταία λέξη της τεχνολογίας Computer-Aided Engineering (CAE), αλλά την πλήρη αξιοποίηση των εργαλείων Computer-Aided Design (CAD) και πιο συγκεκριμένα των Non-Uniform Rational B-SPLines (NURBS) προς την υπηρεσία της ανάλυσης μηχανικού. Ως εκ τούτου, συνιστά ένα ισχυρό τεχνολογικό εργαλείο για τους σύγχρονους μηχανικούς, το οποίο τους δίνει τη δυνατότητα να επιλύσουν αποδοτικά ακόμη και τα πιο απαιτητικά έργα.

Οι υπό εξέταση φορείς προσομοιώνονται ως μοντέλα NURBS στον καρτεσιανό χώρο. Οι υπολογισμοί πραγματοποιούνται στον παραμετρικό χώρο, ήδη γνωστό από την κλασική μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Η ισογεωμετρική ανάλυση επιστρατεύει έναν επιπρόσθετο χώρο, τον χώρο δεικτών, ο οποίος διαδραματίζει σημαντικό ρόλο για ορισμένες κατηγορίες SPLines, όπως είναι οι T-SPLines. Αξίζει να σημειωθεί ότι στην περίπτωση των NURBS ο χώρος δεικτών είναι μόνο βοηθητικός.

Χώρος Δεικτών 

Documentation

Τα σημεία ελέγχου ορίζονται ως το κέντρο του πεδίου επιρροής τους. Το πεδίο επιρροής κάθε σημείου ελέγχου περιλαμβάνει p+1 πεπερασμένα στοχεία για 1D, (p+1)2 για 2D και (p+1)3 για 3D. O χώρος δεικτών υποδεικνύει:​​

  • την αλληλεπίδραση μεταξύ των σημείων ελέγχου
  • το πεδίο επιρροής μίας συνάρτησης βάσης
  • τη συνεισφορά ενός κομβου στη συνάρτηση βάσης
  • την αλληλεπίδραση μεταξύ των πεπερασμένων στοιχείων 

1D, 2D, 3D προσομοιώματα αναπαριστώνται ως γραμμές, ορθογώνια και ορθογώνια παραλληλεπίπεδα αντίστοιχα στο χώρο δεικτών, ενώ οι κόμβοι ισαπέχουν ανεξάρτητα από την τιμή τους.
 
Λαμβάνοντας υπόψιν το πλήρες τανυστικό γινόµενο, ό,τι ισχύει για 1D ισχύει για 2D και 3D.
Εικόνα 1. Απεικόνιση δισδιάστατου μοντέλου στο χώρο δεικτών.​​

Παραμετρικός Χώρος

Οι υπολογισμοί εκτελούνται στον παραμετρικό χώρο. Τα SPLine προσομοιώματα αναπαριστώνται ως γραμμές, ορθογώνια και ορθογώνια παραλληλεπίπεδα, τα οποία μετατρέπονται σε πραγματικές γεωμετρίες στον καρτεσιανό χώρο μέσω του Ιακωβιανού μετασχηματισμού. Ο Ιακωβιανός μετασχηματισμός είναι ήδη γνωστός από την κλασική μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Στην 1D περίπτωση, κάθε κόμβος αντιστοιχεί στο τέλος ενός πεπερασμένου στοιχείου και στην αρχή του αμέσως επόμενου. Το πεδίο επιρροής είναι η περιοχή, στην οποία η συνάρτηση βάσης έχει μη μηδενική τιμή. Οι συναρτήσεις βάσης με τεμνόμενα πεδία επιρροής αλληλεπιδρούν στον παραμετρικό χώρο και επηρεάζουν μια κοινή περιοχή του φορέα στον καρτεσιανό χώρο.
Εικόνα 2. Απεικόνιση δισδιάστατου μοντέλου στον παραμετρικό χώρο.

Καρτεσιανός Χώρος

Η πραγματική γεωμετρία του NURBS μοντέλου απεικονίζεται στον καρτεσιανό χώρο. Οι γραμμές, τα ορθογώνια και τα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα του παραμετρικού χώρου μετατρέπονται σε πραγματικές γεωμετρίες και συγκεκριμένα σε καμπύλες, επιφάνειες και όγκους αντίστοιχα στον καρτεσιανό χώρο. Τόσο οι μεταβλητές των σημείων ελέγχου (καρτεσιανές συντεταγμένες, βάρη) όσο και η βάση καθορίζουν τον Ιακωβιανό μετασχηματισμό. Αξίζει να σημειωθεί ότι για ένα δεδομένο σύνολο συναρτήσεων σχήματος, υπάρχει ένα μοναδικό σύνολο σημείων ελέγχου με το οποίο η γεωμετρία παραμένει αμετάβλητη.

Τα σημεία ελέγχου δεν είναι υλικά σημεία, δηλαδή δεν ανήκουν στο μοντέλο, σε αντίθεση με τους κόμβους της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων, οι οποίοι ανήκουν στο πλέγμα των πεπερασμένων στοιχείων. Με την αξιοποίηση των σημείων ελέγχου η ισογεωμετρική ανάλυση είναι σε θέση να αξιοποιήσει το υπάρχον πλέγμα πεπερασμένων στοιχείων του μοντέλου NURBS, κάτι αδύνατο στην περίπτωση της κλασικής μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων.
Εικόνα 3. Απεικόνιση δισδιάστατου μοντέλου στον καρτεσιανό χώρο.

Συνάρτηση Βάσης

Για συναρτήσεις βάσης μηδενικού βαθμού (p = 0, Box B-SPLines):

Συνάρτηση Σχήματος

Οι δισδιάστατες και τρισδιάστατες συναρτήσεις σχήματος είναι το πλήρες τανυστικό γινόµενο των αντίστοιχων μονοδιάστατων συναρτήσεων βάσης.

Μητρώο Ελαστικότητας

Ιακωβιανό Μητρώο

Μητρώο Παραμόρφωσης

Μητρώο Στιβαρότητας

Είκονα 4. Ολικό µητρώο στιβαρότητας.

Συνοριακή Συνθήκη

Λαμβάνονται υπόψη οι ακόλουθες κατηγορίες συνοριακών συνθηκών:

  • Dirichlet
  • Neumann
  • Robin​

Φόρτιση

Διακρίνονται οι ακόλουθες κατηγορίες φορτίων:

  • Συγκεντρωμένα
  • Γραμμικά κατανεμημένα
  • Επιφανειακά κατανεμημένα
  • Μαζικά κατανεμημένα
  • Φορτία βαρύτητας

​Τόσο τα συγκεντρωμένα όσο και τα κατανεμημένα φορτία f (ξ, η, ζ) πρέπει να μετατραπούν σε ισοδύναμες δράσεις επί των σημείων ελέγχου.

Εξίσωση Ισορροπίας  

Ψευδο-Μετατόπιση

Μετατόπιση

Η λύση της εξίσωσης αντιστοιχεί στις μετατοπίσεις των σημείων ελέγχου, τις λεγόμενες ψευδο-μετατοπίσεις. Σε αντίθεση με την κλασική μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, τα σημεία ελέγχου δεν ανήκουν στο μοντέλο. Το πεδίο μετατόπισης υπολογίζεται από τις ψευδο-μετατοπίσεις.

Ανηγμένη Παραμόρφωση

Ο πολλαπλασιασμός του μητρώου παραμόρφωσης με το διάνυσμα των ψευδο-μετατοπίσεων του φορέα δίνει το διάνυσμα των ανηγμένων παραμορφώσεων.

Τάση

Εφαρμόζοντας τον καταστατικό νόμο του Hooke.